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リーマンと代数関数論

西欧近代の数学の結節点

ISBN978-4-13-061311-8発売日:2016年11月24日判型:A5ページ数:296頁

内容紹介

19世紀数学の中核に位置する代数関数論.さまざまな数学者たちが,どのように交わり,また,どのような思考の変遷を経てこの偉大なる理論が形成され,新たな道が拓かれていったのか.リーマンを軸に,論文と史実から読み解かれた数学の世界へ,精密で巧みな文章が読者を誘う.

主要目次

まえがき

第1章 代数関数とは何か――オイラーの関数概念とその変容
 1 関数概念を振り返って
 2 関数の世界と曲線の世界
 3 ディリクレとコーシーの関数概念

第2章 カナリアのように歌う――リーマンの「面」の発見
 1 修行時代
 2 ベルリンの数学者たち
 3 学位論文まで
 4 コーシーの複素関数論
 5 リーマン面のアイデアを語る
 6 マジョーレ湖畔で終焉を迎える

第3章 楕円関数論のはじまり――楕円積分の等分と変換に関するアーベルの理論
 I 楕円関数論の二つの起源――萌芽の発見と虚数乗法論への道
  1 楕円関数論の二つの流れ――変換理論と等分理論
  2 ファニャノの楕円積分論
  3 変換理論の諸相
  4 楕円関数の等分に関するアーベルの理論
 II クレルレの手紙
  1 ペテルブルグとゲッチンゲンからの手紙
  2 ヤコビの言葉とルジャンドルの言葉
  3 ルジャンドルの所見
  4 ベルリンへの招待
 III アーベルとルジャンドルの往復書簡より
  1 ルジャンドルからアーベルへ(1828年10月25日)
  2 アーベルからルジャンドルへ(1828年11月25日)
  3 ルジャンドルからアーベルへ(1829年1月16日)

第4章 アーベル関数の理論――ヤコビの逆問題の探究
 I 「パリの論文」からアーベル関数論へ
  1 代数的微分式の積分
  2 アーベルの加法定理
  3 加法定理と微分方程式
  4 超楕円積分とヤコビ関数
  5 ヴァイエルシュトラスとヤコビの逆問題
  6 リーマンのアーベル関数論
  7 複素多様体と多変数関数論との別れ
 II アーベル積分の等分と変換に関するヤコビとエルミートの理論
  1 歴史的概観
  2 楕円積分と楕円関数
  3 アーベル積分とアーベル関数
  4 アーベルの加法定理
  5 ヤコビの逆問題
  6 2変数4重周期関数
  7 ヤコビの逆問題とリーマン面
  8 超楕円積分の等分と変換
  9 隠された領域――数論とアーベル積分論

第5章 多変数代数関数論の夢――リーマンを越えて
 1 ガウスの『アリトメチカ研究』とヒルベルトの第12問題
 2 岡潔の遺稿「リーマンの定理」と多変数代数関数論の夢

あとがき
参考文献
数学者人名表
索引

Bernhard Riemann and the Theory of Algebraic Functions: The Junction of Modern Mathematics in Western Europe
Masahito TAKASE

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